Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60°角，AA₁=2，底面ABC是边长为2的三角形，G为三角形ABC内一点，E是线段BC₁上一点，且

BE

=

1

3

BC1

，

GE

=

1

3

AB1

．
（1）请判断点G在三角形ABC内的位置；
（2）求平面B₁GE与底面ABC所成锐角二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）先取AB中点O，根据∠A₁AB=60°以及AA₁=AB=2，得到AO⊥底面ABC；再O为原点建立空间直角坐标系求出各点的坐标；结合

BE

=

1

3

BC1

求出点E的坐标，再结合

GE

=

1

3

AB1

求出点G的坐标，即可得到结论．
（2）先根据条件求出两个平面的法向量，再直接代入向量夹角的计算公式即可求出结论．

解答：解：（1）∵侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60⁰角
∴∠A₁AB=60°；
又AA₁=AB=2，取AB中点O，则AO⊥底面ABC，…（1分）
以O为原点建立空间直角坐标系：
则A₁（0，0，

3

），B₁（0，2，

3

），C₁（

3

，1，

3

）
A（0，-1，0），B（0，1，0），C（

3

，0，0）
设G（x，y，0）
∵

BE

=

1

3

BC 1

，∴E（

3

3

，1，

3

3

）．
又∵

GE

=

1

3

AB 1

，

AB 1

=（0，3，

3

），

GE

=（

3

3

-x，1-y，

3

3

）．
∴G（

3

3

，0，0）．
所以：G为中心．…（6分）
（2）设平面B₁GE的法向量为

n

=（x，y，z），则由

n

•

B   1E

=0及

n

•

GE

=0．
∴

y+ 3 3 z=0 3 3 x-y- 2 3 3 z=0

得

n

=（

3

，-1，

3

）．，…（8分）
又底面ABC的法向量为

m

=（0，0，1），设平面B₁GE与底面ABC所成锐角二面角的大小为θ
所以：cosθ=

| m • n |

| m |•| n |

=

21

7

，
故θ=arccos

21

7

．
∴平面B₁GE与底面ABC所成锐角二面角的大小为arccos

21

7

…（12分）

点评：本题主要考查了点的位置的判定，以及二面角的度量等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题，本题解题的关键是找出二面角的平面角对应的法向量．