Question

已知函数f（x）=sin（2x-

π

6

）+2cos²x-1，x∈R
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=

1

2

，b，a，c成等差数列，且

AB

•

AC

=9，求S_△ABC及a的值．

Answer 1

考点：余弦定理,等差数列的通项公式,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）化简函数解析式可得f（x）=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin(2x+

π

6

)，由周期公式可求最小正周期，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）可解得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由f（A）=sin（2A+

π

6

）=

1

2

，又0＜A＜π，

π

6

＜2A+

π

6

＜2π+

π

6

，可解得A，由b，a，c成等差数列得2a=b+c，由

AB

•

AC

=9，得bc的值，即可根据面积公式求得面积，由余弦定理即可求得a的值．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=sin(2x-

π

6

)+2cos2x-1=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+cos2x
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin(2x+

π

6

)
最小正周期为

2π

2

=π
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）可解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）
故f（x）的单调递增区间是：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）
（Ⅱ）∵f（A）=sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，

π

6

＜2A+

π

6

＜2π+

π

6

，
于是2A+

π

6

=

5π

6

，
故解得：A=

π

3

由b，a，c成等差数列得：2a=b+c，
由

AB

•

AC

=9，得bccosA=9，

1

2

bc=9，bc=18
S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×18×

3

2

=

9 3

2

．
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，
于是a²=4a²-54，a²=18，a=3

2

．

点评：本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质，等差数列的性质等知识的应用，熟练应用相关知识和定理是解题的关键，综合性较强，属于基本知识的考查．