Question

如图甲，设正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在AB、CD上，并且满足AE=2EB，CF=2FD，如图乙，将直角梯形AEFD沿EF折到A₁EFD₁的位置，使点A₁在平面EBCF上的射影G恰好在BC上．
（1）证明：A₁E∥平面CD₁F；
（2）求平面BEFC与平面A₁EFD₁所成二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）如图所示，利用图甲、乙，求出EF、A₁E、A₁G，作GT∥BE交EF于点T，则TG⊥GC，以点G为原点，分别以GC、GT、GA₁所在直线为x、y、z轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．
解答：（1）证明：在图甲中，易知AE∥DF，从而在图乙中有A₁E∥D₁F，
∵A₁E?平面CD₁F，D₁F?平面CD₁F，∴A₁E∥平面CD₁F．
（2）解：如图，在图乙中作GH⊥EF，垂足为H，连接A₁H，由于A₁G⊥平面EBCF，则A₁G⊥EF，∴EF⊥平面A₁GH，则EF⊥A₁H，图甲中有EF⊥AH，
又GH⊥EF，则A、G、H三点共线，
设CF的中点为M，则MF=1，可证△ABG≌△EMF，
∴BG=MF=1，则AG=；
又由△ABG∽△AHE，得，
于是，HG=AG-AH=，
在Rt△A₁GH中，==，
作GT∥BE交EF于点T，则TG⊥GC，
以点G为原点，分别以GC、GT、GA₁所在直线为x、y、z轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，
则G（0，0，0），E（-1，1，0），F（2，2，0），，
则，，
∴是平面BEFC的一个法向量，
设是平面A₁EFD₁的一个法向量，则，
不妨取y=-1，则x=3，z=，∴．
设平面BEFC与平面A₁EFD₁所成二面角为θ，可以看出，θ为锐角，
∴==，
所以，平面BEFC与平面A₁EFD₁所成二面角的余弦值为．
点评：熟练掌握线面平行的判定定理、三角形的相似与全等的判定定理和性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角的方法等知识与方法是解题的关键．