精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,点D是棱B1C1的中点.
(Ⅰ)求证:A1D⊥平面BB1C1C;(Ⅱ)求二面角D-A1C-A的余弦值.







(文科)如图甲,在平面四边形ABCD中,已知∠A=45°,∠C=90°,∠ADC=105°,AB=BD,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BDC(如图乙),设点E、F分别为棱AC、AD的中点.
(Ⅰ)求证:DC⊥平面ABC;
(Ⅱ)设CD=a,求三棱锥A-BFE的体积.

(Ⅰ)证明:因为侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,
所以AA1⊥AC,AA1⊥AB,
所以AA1⊥平面ABC,三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱.
因为A1D?平面A1B1C1,所以CC1⊥A1D,
又因为A1B1=A1C1,D为B1C1中点,所以A1D⊥B1C1
因为CC1∩B1C1=C1,所以A1D⊥平面BB1C1C.
(Ⅱ)解:因为侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,
所以AB,AC,AA1两两互相垂直,如图所示建立直角坐标系A-xyz.
设AB=1,则.,设平面A1DC的法向量为
则有,x=-y=-z,取x=1,得
又因为,AB⊥平面ACC1A1
所以平面ACC1A1的法向量为,因为二面角D-A1C-A是钝角,
所以,二面角D-A1C-A的余弦值为
(文答案)(Ⅰ)证明:在图甲中∵AB=BD且∠A=45°∴∠ADB=45°,∠ABD=90°,即AB⊥BD.
在图乙中,∵平面ABD⊥平面BDC,且平面ABD∩平面BDC=BD,∴AB⊥底面BDC,∴AB⊥CD.
又∠DCB=90°,∴DC⊥BC,且AB∩BC=B,∴DC⊥平面ABC.
(Ⅱ)解:∵E、F分别为AC、AD的中点,∴EF∥CD,又由(Ⅰ)知,DC⊥平面ABC,
∴EF⊥平面ABC,∴
在图甲中,∵∠ADC=105°,∴∠BDC=60°,∠DBC=30°,
由CD=a得
,∴

分析:(Ⅰ) 先证明三棱柱是直三棱柱,由CC1⊥A1D,A1D⊥B1C1,证得A1D⊥平面BB1C1C.
(Ⅱ) 如图所示建立直角坐标系A-xyz,求出二面角的两个面的法向量,求出两个法向量夹角的
余弦值,此余弦值的相反数即为所求.
(文答案)(Ⅰ) AB⊥BD,由面面垂直的性质可得AB⊥底面BDC,故AB⊥CD,又DC⊥BC,DC⊥平面ABC.
(Ⅱ) 证得EF⊥平面ABC,可得,求出三角形AEB的面积和EF的长度,
即可求得结果.
点评:本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法,求棱锥的体积,二面角的大小,直线与平面垂直的判定、性质的应用.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB'C'F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2为(  )
A、3:2B、7:5C、8:5D、9:5

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,A1A=AC=2,BC=1,AB=
5
,则此三棱柱的侧视图的面积为(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1为菱形,∠A1AB=60°,四边形BCC1B1为矩形,若AB⊥BC且AB=4,BC=3
(1)求证:平面A1CB⊥平面ACB1
(2)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•通州区一模)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC=BC=2,AB=2
2
,CC1=4,M是棱CC1上一点.
(Ⅰ)求证:BC⊥AM;
(Ⅱ)若N是AB上一点,且
AN
AB
=
CM
CC1
,求证:CN∥平面AB1M;
(Ⅲ)若CM=
5
2
,求二面角A-MB1-C的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥面ABC,AC⊥BC,E分别在线段B1C1上,B1E=3EC1,AC=BC=CC1=4.
(1)求证:BC⊥AC1
(2)试探究:在AC上是否存在点F,满足EF∥平面A1ABB1,若存在,请指出点F的位置,并给出证明;若不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案