Question

9．一般地，我们把离心率为$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$的椭圆称为“黄金椭圆”．对于下列命题：
①椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$是黄金椭圆；
②若椭圆$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{m}=1$是黄金椭圆，则$m=6\sqrt{5}-6$；
③在△ABC中，B（-2，0），C（2，0），且点A在以B，C为焦点的黄金椭圆上，则△ABC的周长为$6+2\sqrt{5}$；
④过黄金椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的右焦点F（c，0）作垂直于长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，则$|{AB}|=（{\sqrt{5}-1}）a$；
⑤设F₁，F₂是黄金椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的两个焦点，则椭圆C上满足∠F₁PF₂=90°的点P不存在．
其中所有正确命题的序号是③④⑤．（把你认为正确命题的序号都填上）．

Answer 1

分析 ①，$a=4，c=2，e=\frac{1}{2}$，即可判断出正误．
②，若焦点在x轴上，则$\frac{{\sqrt{12-m}}}{{\sqrt{12}}}=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，解得m．若焦点在y轴上，则$\frac{{\sqrt{m-12}}}{{\sqrt{m}}}=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，解得m，即可判断出正误．
③，c=2，$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，即可判断出正误．
④，$|{AB}|=\frac{{2{b^2}}}{a}=\frac{{2（{{a^2}-{c^2}}）}}{a}=（{\sqrt{5}-1}）a$，即可判断出正误．
⑤，设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则$\left\{\begin{array}{l}m+n=2a\\ 4{c^2}={m^2}+{n^2}\end{array}\right.，mn=2{a^2}-2{c^2}$，而$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}=\frac{c}{a}$，可得mn，与m+n=2a联立即可判断出正误．

解答 解：对①，$a=4，c=2，e=\frac{1}{2}$，①不正确．
对②，若焦点在x轴上，则$\frac{{\sqrt{12-m}}}{{\sqrt{12}}}=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，解得$m=6\sqrt{5}-6$．若焦点在y轴上，则$\frac{{\sqrt{m-12}}}{{\sqrt{m}}}=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，解得$m=6\sqrt{5}+6$，②不正确．
对③，c=2，$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，$2a+2c=6+2\sqrt{5}$，③正确．
对④，$|{AB}|=\frac{{2{b^2}}}{a}=\frac{{2（{{a^2}-{c^2}}）}}{a}=（{\sqrt{5}-1}）a$，④正确．
对⑤，设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则$\left\{\begin{array}{l}m+n=2a\\ 4{c^2}={m^2}+{n^2}\end{array}\right.，mn=2{a^2}-2{c^2}$，而$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}=\frac{c}{a}$，∴$mn=2{a^2}-2{（{\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}a}）^2}=（{\sqrt{5}-1}）{a^2}$，与m+n=2a联立无实数解．因此椭圆E上满足∠F₁PF₂=90°的点P不存在，⑤正确．
故答案为：③④⑤．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查学生运算能力、综合运用知识和方法解决问题的能力，属于中档题．