Question

已知函数f(x)=1-

2

2x+t

（t是常实数）．
（1）若函数的定义为R，求y=f（x）的值域；
（2）若存在实数t使得y=f（x）是奇函数，证明y=f（x）的图象在g（x）=2^x+1-1图象的下方．

Answer 1

分析：（1）先把定义为R转化为2^x+t≠0恒成立，求出t的取值范围，再对t分情况讨论求出对应y=f（x）的值域；
（2）由y=f（x）是奇函数得t=1，再把两个函数作差，整理后利用基本不等式求出差的最值即可证明结论．

解答：解：（1）因为2^x+t≠0恒成立，所以t≥0，（2分）
当t=0时，y=f（x）的值域为（-∞，1）；（4分）
当t＞0时，由y=1-

2

2x+t

得，2x=

2-t+ty

1-y

＞0，
因而

y-(1- 2 t )

y-1

＜0
即y=f（x）的值域为(1-

2

t

，1)．（6分）
（2）由y=f（x）是奇函数得t=1，所以f(x)=1-

1

2x+1

（8分）
f(x)-g(x)=1-

2

2x+1

-(2•2x-1)，f(x)-g(x)=4-[

2

2x+1

+2(2x+1)]≤0（11分）
当“=”成立时，必有

2

2x+1

=2(2x+1)，即2^x=0，此式显然不成立．（13分）
所以对任意实数x都有f（x）＜g（x）
即y=f（x）的图象在g（x）=2^x+1-1图象的下方．（14分）

点评：本题主要考查函数恒成立问题以及函数奇偶性的应用和函数图象间的关系的转化，是对函数知识的综合考查，属于中档题目．