Question

8．若x＞y＞0，求x²+$\frac{1}{（x-y）y}$的最小值4．

Answer 1

分析 由题意可得x-y＞0，可得x²+$\frac{1}{（x-y）y}$=（x-y+y）²+$\frac{1}{（x-y）y}$=（x-y）²+y²+2（x-y）y+$\frac{1}{（x-y）y}$，两次利用基本不等式可得．

解答 解：∵x＞y＞0，∴x-y＞0，
∴x²+$\frac{1}{（x-y）y}$=（x-y+y）²+$\frac{1}{（x-y）y}$
=（x-y）²+y²+2（x-y）y+$\frac{1}{（x-y）y}$
≥2（x-y）y+2（x-y）y+$\frac{1}{（x-y）y}$
=4（x-y）y+$\frac{1}{（x-y）y}$
≥2$\sqrt{4（x-y）y•\frac{1}{（x-y）y}}$=4
当且仅当x-y=y且4（x-y）y=$\frac{1}{（x-y）y}$即x=$\sqrt{2}$且y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号，
故答案为：4

点评 本题考查基本不等式求最值，凑出可以基本不等式的形式是解决问题的关键和难点，属中档题．