Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）过点P（1，-2）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（Ⅱ）过焦点F且斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，求弦长|AB|

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）把定点坐标代入抛物线方程，求得p，则抛物线方程可求；
（Ⅱ）求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式得答案．

解答： 解：（Ⅰ）根据抛物线C：y²=2px（p＞0）过点P（1，-2），可得4=2p，解得p=2．
从而抛物线的方程为y²=4x，准线方程为x=-1；
（Ⅱ）抛物线焦点坐标为F（1，0），
∴直线l：y=2x-2．
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=2x-2 y2=4x

，得：4x²-12x+4=0，即x²-3x+1=0．
则由韦达定理有：x₁+x₂=3，x₁x₂=1．
则弦长|AB|=

5

|x1-x2|=

5

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

9-4

=5．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质，考查了直线与抛物线的位置关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是基础题．