Question

已知函数f（x）=x²lnx-a（x²-1），a∈R．
（1）当a=-1时，求曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x≥1时，f（x）≥0成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）利用不等式恒成立，利用参数分离法，构造函数求函数的最值即可．

解答： 解：（1）当a=-1时，函数f（x）=x²lnx+x²-1，则f（1）=0，
函数的导数f′（x）=2xlnx+3x，
则f′（1）=3，
则曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=3（x-1）=3x-3；
（2）当x≥1时，由f（x）≥0得x²lnx-a（x²-1）≥0，
当x=1时，不等式成立，
当x≠1时，得a≤

x2lnx

x2-1

，x≥1，
设g（x）=

x2lnx

x2-1

，x≥1，
则函数的导数为g′（x）=

x(x2-2lnx-1)

(x2-1)2

，
问题转换为求函数g（x）=（x^2lnx）/（x^2-1）的最小值；
令h（x）=x（x²-1-2lnx），
则h'（x）=3x²-2lnx-3，
h''（x）=6x-

2

x

，
∵x＞1，∴h′′（x）＞0
即h'（x）为增函数
则h'（x）＞h'（1）=0
h（x）为增函数，
则h（x）＞h（1）=0
即g'（x）＞0即g（x）为增函数，
∵

lim

x→1

x2lnx

x2-1

=

1

2

（用洛必达法则），
则a≤

1

2

综上所述：a∈（-∞，

1

2

]

点评：本题主要考查导数的应用，根据导数的几何意义以及函数最值和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．