Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，M为PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BDM；
（2）求直线AC与平面ADM所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）连接AC，交BD于点O，连接MO，由三角形中位线定理易得MO∥PA，进而由线面平行的判定定理得到PA∥平面BDM；
（2）利用等体积法，根据V_M-ADC=V_C-ADM，我们分别计算出S_△ADC，点M到面ADC的距离h₁，S_△ADM的大小，即可求出C点到平面ADM的距离，进而求出直线AC与平面ADM所成角的正弦值．

解答：解：（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接MO
因为MO是△PAC的中位线，
所以MO∥PA
又因为PA?面BDM，MO?面BDM
所以PA∥平面BDM
（2）因为S_△ADC=

3

，点M到面ADC的距离h₁=

3

2

，所以V_M-ADC=

1

3

×

3

×

3

2

=

1

2

．
因为△PDC为等腰三角形，且M为PC的中点，所以DM⊥PC．
取PB的中点E，AD的中点N，连接ME，PN，NE，BN
因为四边形DMEN为平行四边形
所以DM∥NE
又因为△PNB为等腰三角形，所以NE⊥PB
所以DM⊥PB．
因为DM⊥PC，DM⊥PB且PC∩PB=P
所以DM⊥面PBC．
所以DM⊥BC．
因为BC∥AD
所以AD⊥DM，因为DM=

6

2

所以S_△ADM=

1

2

×

6

2

×2=

6

2

所以V_M-ADC=V_C-ADM=S_△ADM×h₂×

1

3

所以h₂=

6

2

所以sinθ=

2

4

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定，其中（1）的关键是证得MO∥PA，（2）的关键是根据等体积法，求出C点到平面ADM的距离．