Question

13．已知函数y=f（x）=log_a$\frac{x+1}{x-1}$．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）利用真数大于0，即可求f（x）的定义域；
（2）利用奇函数的定义，即可判断f（x）的奇偶性；
（3）结合对数函数的单调性，即可讨论f（x）的单调性．

解答 解：（1）由$\frac{x+1}{x-1}$＞0，可得x＜-1或x＞1，
∴f（x）的定义域是{x|x＜-1或x＞1}；
（2）f（-x）=log_a$\frac{x-1}{x+1}$=-log_a$\frac{x+1}{x-1}$=-f（x），
∴f（x）是奇函数；
（3）$\frac{x+1}{x-1}$=1+$\frac{2}{x-1}$．
∴a＞1时，1+$\frac{2}{x-1}$在（-∞，-1），（1，+∞）上单调递减，f（x）=log_a$\frac{x+1}{x-1}$在（-∞，-1），（1，+∞）上单调递减；
0＜a＜1时，1+$\frac{2}{x-1}$在（-∞，-1），（1，+∞）上单调递减，f（x）=log_a$\frac{x+1}{x-1}$在（-∞，-1），（1，+∞）上单调递增．

点评 本题考查函数的定义域、奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．