Question

1．奇函数f（x）定义域为R，若当x∈（0，+∞）时，f（x）=lnx，则
（1）该函数的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-ln（-x），x＜0}\\{0，x=0}\\{lnx，x＞0}\end{array}\right.$
（2）不等式f（x）＞0的解集为{x|-1＜x＜01或x＞1}．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的性质，求出x＜0的解析式，即可得出结论；
（2）利用（1）的解析式，即可求出不等式f（x）＞0的解集．

解答 解：（1）设x＜0，则-x＞0，
∵当x∈（0，+∞）时，f（x）=lnx，
∴f（x）=-f（-x）=-ln（-x），
又f（0）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-ln（-x），x＜0}\\{0，x=0}\\{lnx，x＞0}\end{array}\right.$；
（2）x＞0时，lnx＞0，∴x＞1；
x=0时，不成立；
x＜0时，-ln（-x）＞0，∴-1＜x＜0，
∴不等式f（x）＞0的解集为{x|-1＜x＜0或x＞1}．
故答案为：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-ln（-x），x＜0}\\{0，x=0}\\{lnx，x＞0}\end{array}\right.$；{x|-1＜x＜0或x＞1}．

点评 本题考查函数解析式的确定，考查求不等式f（x）＞0的解集，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．