Question

已知二次函数f（x）对任意实数t满足关系f（2+t）=f（2-t），且f（x）有最小值-9．又知函数f（x）的图象与x轴有两个交点，它们之间的距离为6，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用待定系数法，设出函数的解析式，根据函数f（2+t）=f（2-t），求出对称轴，函数f（x）的图象与x轴交点A，B的距离为6，即可求得二次函数f（x）的解析式；

解答： 解：（1）∵f（x）的最小值为-9，
∴可设f（x）=a（x-h）²-9（a＞0）…（2分）
又f（2+t）=f（2-t），
∴函数的对称轴为x=2，
∴f（x）=a（x-2）²-9．
∴h=2          …（4分）
∴f（x）=a（x-2）²-9
由f（x）=a（x-2）²-9=0，
可得x₁=2-

3

a

，x₂=2+

3

a

，
∴A、B的距离为|x₁-x₂|=2×

3

a

=6，
∴a=1
∴f（x）=（x-2）²-9．
函数f（x）的解析式：f（x）=（x-2）²-9…（6分）

点评：本题考查函数解析式的确定，二次函数的基本性质的应用，考查待定系数法的运用，函数的最值的判断是解题的关键．