Question

22．（本题满分15分）已知抛物线C的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点到其准线的距离等于5．
（Ⅰ）求抛物线C的方程;
（Ⅱ）如图,过抛物线C的焦点的直线从左到右依次与抛物线C及圆交于A、C、D、B四点,试证明为定值;
（Ⅲ）过A、B分别作抛物C的切线且交于点M,求与面积之和的最小值．

 

Answer 1

解: （Ⅰ）设抛物线方程为,由题意得:
,, 所以抛物线C的方程为…4分

（Ⅱ） 解法一:抛物线焦点与的圆心重合即为E（0,1）,
设过抛物线焦点的直线方程为,,
,,得到,…………………………．2分
由抛物线的定义可知,,
．即为定值1………．．3分
（Ⅲ）,所以,
所以切线AM的方程为,切线BM的方程为,
解得即…………………………………………………………．2分
所以点M到直线AB的距离为．
设
…………………………………．．…………．2分
令,所以,,
所以在上是增函数,当,即时,,即与面积之和的最小值为2………………………………………………………………………………2分
（Ⅱ）解法二:设过抛物线焦点的直线方程为,,不妨设．
,,得到,…………………………．2分
,,

,即为定值……………．．………．．3分
（Ⅲ）,所以,所以切线AM的方程为,
切线BM的方程为,解得即………．2分
所以点M到直线AB的距离为．
设
………………………………．2分
令,所以,,
所以在上是增函数,当,即时,,即与面积之和的最小值为2………………………………………………………………………………2分

略