Question

1．（Ⅰ）计算：$\frac{{（\sqrt{2}+\sqrt{2}i{）^2}（4+5i）}}{（5-4i）（1-i）}$；
（Ⅱ）在复平面上，平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C对应的复数分别为i，1，4+2i．求第四个顶点D的坐标及此平行四边形对角线的长．

Answer 1

分析 （I）利用复数的运算法则即可得出．
（II）利用平行四边形的性质、复数的几何意义即可得出．

解答 解：（Ⅰ）原式=$\frac{4i（4+5i）}{1-9i}$=$\frac{-4（5-4i）（1+9i）}{82}$=$\frac{-4（41+41i）}{82}=-2-2i$．
（Ⅱ）设D（x，y），依题意得：A（0，1），B（1，0），C（4，2）．
由$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$，得（1，-1）=（4-x，2-y），
∴4-x=1，2-y=-1，
解得 x=3，y=3．
∴D（3，3），
   对角线AC=$\sqrt{{4^2}+{1^2}}=\sqrt{17}$，BD=$\sqrt{{2^2}+{3^2}}=\sqrt{13}$

点评 本题考查了数的运算法则、平行四边形的性质、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．