Question

19．已知函数f（x）=log₄（2x+3-x²）．
（1）求函数f（x）的单调区间，
（2）当x∈（0，$\frac{3}{2}$]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=log4（2x+3-x2），先求出其定义域，再利用复合函数的单调性的性质，能求出函数f（x）的单调区间
（2）令t=2x+3-x²，x∈（-1，3），则t=2x+3-x²=-（x-1）²+4，由此能求出函数f（x）的值域

解答 解：（1）由f（x）=log4（2x+3-x2），
得2x+3-x²＞0，解得-1＜x＜3，
设t=2x+3-x²，
∵t=2x+3-x²在（-1，1]上单调增，在[1，3）上单调减，
而y=log₄t在R上单调增，
∴函数f（x）的增区间为（-1，1]，减区间为[1，3）．
（2）令t=2x+3-x²，x∈（0，$\frac{3}{2}$]，
则t=2x+3-x²=-（x-1）²+4∈（log₄3，1]，
∴f（x）∈（log₄3，1]

点评 本题考查对数函数的单调区间和最大值的求法，解题时要认真审题，注意换元法和配方法的合理运用