Question

7．已知定义域为R的函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x}+1}$是奇函数，
（1）求实数a的值；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设关于x的方程f（4^x-b）+f（-2^x+1）=0有实数根，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的定义即可求出，
（2）根据奇函数的定义将不等式化为：f（t²-2t）＜f（-2t²+k），再分离函数解析式，利用指数函数的复合函数的单调性判断出此函数的单调性，再列出关于x的不等式，由题意转化为：3t²-2t-k＞0恒成立，利用二次函数的性质列出等价不等式求解．
（3）先将原方程变为b=4^x-2^x+1，再利用整体思想将2^x看成整体，结合二次函数的性质即可求得实数b的取值范围

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x}+1}$是奇函数，
∴f（-x）=$\frac{-{2}^{-x}+a}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{-1+a•{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f（x）=-$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x}+1}$，
∴a=1，
（2）由（1）可知f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x}+1}$=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$
由上式易知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，
又∵f（x）是奇函数，
从而不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k），
∵f（x）是减函数，由上式推得t²-2t＞-2t²+k，
即对一切t∈R有3t²-2t-k＞0，
从而判别式△=4+12k＜0，解得k＜-$\frac{1}{3}$，
（3）∵f（x）是奇函数，
∴f（4^x-b）+f（-2^x+1）=0，
∴f（4^x-b）=f（2^x+1），
∴4^x-b=2^x+1，
∴b=4^x-2^x+1，
∵4^x-2^x+1=（2^x）²-2×2^x=（2^x-1）²-1≥-1，
∴当b∈[-1，+∞）时方程有实数解

点评 本题主要考查了奇函数的定义的灵活应用，以及分离常数法，复合函数和指数函数单调性的应用，二次函数的性质的应用，较综合，属于中档题．