Question

16．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x+a的极大值为2．
（1）求实数a的值；
（2）求f（x）在[b，b+1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据函数先求导数，并且得到函数的两个极值点，判定两侧的单调性，得到极大值点，代入得到极大值，求得实数a的值；
（2）根据（1）的单调区间，讨论极值点与区间[b，b+1]的关系，从而得到区间的单调性，根据单调性讨论函数的最大值．

解答 解：（1）依题意：f′（x）=x²-4x+3=（x-3）（x-1），
所以f（x）在（-∞，1）和（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减，
所以f（x）在x=1处取得极大值，即f（1）=$\frac{1}{3}$-2+3-a=2，
解得：a=$\frac{2}{3}$．
（2）由（1）知f（x）在（-∞，1）和（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减，
①当b+1≤1，即b≤0时，f（x）在[b，b+1]上单调递增，
所以f（x）在[b，b+1]上的最大值为f（b+1）=$\frac{{b}^{3}}{3}$-b²+2；
②当b≤1＜b+1，即0＜b≤1时，f（x）在[b，1]上单调递增，在[1，b+1]上单调递减，
f（x）在[b，b+1]上的最大值为f（1）=2；
③当b＞1且b+1≤3，即1＜b≤2时，f（x）在[b，b+1]上单调递减，
所以f（x）在[b，b+1]上的最大值为f（b）=$\frac{{b}^{3}}{3}$-2b²+3b+$\frac{2}{3}$；
④当3＜b+1，即b＞2时，令f（b）=f（b+1），得b=$\frac{9+\sqrt{33}}{6}$或b=$\frac{9-\sqrt{33}}{6}$（舍去）
当2＜b≤$\frac{9+\sqrt{33}}{6}$时，f（x）在[b，b+1]上的最大值为f（b）=$\frac{{b}^{3}}{3}$-2b²+3b+$\frac{2}{3}$；
当b＞$\frac{9+\sqrt{33}}{6}$时，f（x）在[b，b+1]上的最大值为f（b+1）=$\frac{{b}^{3}}{3}$-b²+2；
综上可知：
当b≤0或b＞$\frac{9+\sqrt{33}}{6}$时，f（x）在[b，b+1]上的最大值为f（b+1）=$\frac{{b}^{3}}{3}$-b²+2；
当0＜b≤1时，f（x）在[b，b+1]上的最大值为f（1）=2；
当1＜b≤$\frac{9+\sqrt{33}}{6}$时，f（x）在[b，b+1]上的最大值为f（b）=$\frac{{b}^{3}}{3}$-2b²+3b+$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．