Question

设曲线y=（ax-1）e^x在点A（x₀，y₁）的切线为l₁，曲线y=

1-x

ex

在点B（x₀，y₂）的切线为l₂，若存在x0∈[-

1

2

，

3

2

]，使得l₁⊥l₂，则实数a的取值范围是

[1，

14

5

]

．

Answer 1

分析：利用导数的几何意义可得kl1，kl2．存在x0∈[-

1

2

，

3

2

]，使得l₁⊥l₂，可得(ax0+a-1)ex0•

x0-2

ex0

=-1在x0∈[-

1

2

，

3

2

]有解．化为a=

x0-3

(x0+1)(x0-2)

，x0∈[-

1

2

，

3

2

]．再利用导数研究其单调性即可．

解答：解：对于曲线y=（ax-1）e^x，y′=（ax+a-1）e^x，∴kl1=(ax0+a-1)ex0．
对于曲线y=

1-x

ex

，y′=

x-2

ex

，∴kl2=

x0-2

ex0

．
∵存在x0∈[-

1

2

，

3

2

]，使得l₁⊥l₂，∴(ax0+a-1)ex0•

x0-2

ex0

=-1在x0∈[-

1

2

，

3

2

]有解．
化为a=

x0-3

(x0+1)(x0-2)

，x0∈[-

1

2

，

3

2

]．
a′=

-(x0-1)(x0-5)

(x0+1)2(x0-2)2

，
当x0∈[-

1

2

，1)时，a′＜0，函数a单调递减；当x0∈(1，

3

2

]时，a′＞0，函数a单调递增．
因此函数a在x₀=1时取得最小值，a（1）=1；
又a(-

1

2

)=

14

5

，a(

3

2

)=

6

5

，因此函数a的最大值为a(-

1

2

)=

14

5

．
∴实数a的取值范围是[1，

14

5

]．
故答案为[1，

14

5

]．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、几何意义、相互垂直的直线的斜率之间的关系，属于难题．