Question

设曲线y=（ax-1）e^x在点A（x₀，y₁）处的切线为l₁，曲线y=（1-x）e^-x在点B（x₀，y₂）处的切线为l₂．若存在x0∈[0，

3

2

]，使得l₁⊥l₂，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x₀分别代入到相应的导函数中求出切线l₁和切线为l₂的斜率，然后根据两条切线互相垂直得到斜率乘积为-1，列出关于等式由x0∈[0，

3

2

]解出a=

x0-3

x 2 0 -x0-2

，然后根据

x0-3

x 2 0 -x0-2

为减函数求出其值域即可得到a的取值范围．

解答：解：函数y=（ax-1）e^x的导数为y′=（ax+a-1）e^x，
∴l₁的斜率为k1=(ax0+a-1)ex0，
函数y=（1-x）e^-x的导数为y′=（x-2）e^-x
∴l₂的斜率为k2=(x0-2)e-x0，
由题设有k₁•k₂=-1从而有(ax0+a-1)ex0•(x0-2)e-x0=-1
∴a（x₀²-x₀-2）=x₀-3
∵x0∈[0，

3

2

]得到x₀²-x₀-2≠0，所以a=

x0-3

x 2 0 -x0-2

，
又a′=

-(x0-1)(x0-5)

(x02-x0-2)2

，另导数大于0得1＜x₀＜5，
故

x0-3

x 2 0 -x0-2

在（0，1）是减函数，在（1，

3

2

）上是增函数，
x₀=0时取得最大值为

0-3

02-0-2

=

3

2

；
x₀=1时取得最小值为1．
∴1≤a≤

3

2

故答案为：1≤a≤

3

2

点评：此题是一道综合题，考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系．