Question

设曲线y=（ax-1）e^x在点A（x₀，y₁）处的切线为l₁，曲线y=（1-x）e^-x在点B（x₀，y₂）处的切线为l₂，若存在，使得l₁⊥l₂，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：函数y=（ax-1）e^x的导数为y′=（ax+a-1）e^x，
∴l₁的斜率为k₁=（ax₀+a-1）e^x₀，
函数y=（1-x）e^-x的导数为y′=（x-2）e^-x
∴l₂的斜率为k₂=（x₀-2）e^-x₀，
由题设有k₁•k₂=-1从而有（ax₀+a-1）e^x₀•（x₀-2）e^-x₀=-1
∴a（x₀²-x₀-2）=x₀-3
∵x0∈[0，]得到x₀²-x₀-2≠0，所以a=，
又a′=，令导数大于0得1＜x₀＜5，
故a=在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，
x₀=0时取得最大值为=；
x₀=1时取得最小值为1．
∴1≤a≤
故实数a的取值范围为：1≤a≤．
分析：根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x₀分别代入到相应的导函数中求出切线l₁和切线为l₂的斜率，然后根据两条切线互相垂直得到斜率乘积为-1，列出关于等式由x0∈[0，]解出a=，然后根据为减函数求出其值域即可得到a的取值范围．
点评：本题是一道综合题，考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，以及直线的一般式方程与直线的垂直关系．