Question

在（2x-3y）¹⁰的展开式中，求：

（1）二项式系数的和；

（2）各项系数的和；

（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

（4）奇数项系数和与偶数项系数和；

（5）x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.

Answer 1

(1) 2¹⁰ (2) 1(3) 2⁹（4）（5）

解析:

设(2x-3y)¹⁰=a₀x¹⁰+a₁x⁹y+a₂x⁸y²+…+a₁₀y¹⁰            (*)

各项系数和即为a₀+a₁+…+a₁₀,奇数项系数和为a₀+a₂+…+a₁₀,偶数项系数和为a₁+a₃+a₅+…+a₉,x的奇次项系数和为a₁+a₃+a₅+…+a₉,x的偶次项系数和a₀+a₂+a₄+…+a₁₀.

由于（*）是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.

（1）二项式系数和为C+C+…+C=2¹⁰.

（2）令x=y=1,各项系数和为(2-3)¹⁰=(-1)¹⁰=1.

（3)奇数项的二项式系数和为C+C+…+C=2⁹,

偶数项的二项式系数和为C+C+…+C=2⁹.

(4)设（2x-3y）¹⁰=a₀x¹⁰+a₁x⁹y+a₂x⁸y²+…+a₁₀y¹⁰

令x=y=1,得到a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=1                                                                           ①

令x=1,y=-1(或x=-1,y=1)

得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₁₀=5¹⁰                                                                                                    ②

①+②得2(a₀+a₂+…+a₁₀)=1+5¹⁰,

∴奇数项的系数和为；

①-②得2(a₁+a₃+…+a₉)=1-5¹⁰,

∴偶数项的系数和为.

（5）x的奇次项系数和为a₁+a₃+a₅+…+a₉=;

x的偶次项系数和为a₀+a₂+a₄+…+a₁₀=.