Question

在（2x-3y）¹⁰的展开式中，求：
（1）二项式系数的和；
（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
（3）奇数项系数和与偶数项系数和．

Answer 1

分析：（1）由（1+1）¹⁰=

C 0 10 +C

1 10

+…+

C

10 10

可求得结果；
（2）根据奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和可得结果；
（3）设（2x-3y）¹⁰=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10，分别令x=y=1；x=1，y=-1可得两式，联立即可求得答案；

解答：解：（1）（2x-3y）¹⁰的二项式系数和为

C 0 10 +C

1 10

+…+

C

10 10

=（1+1）¹⁰=2¹⁰；
（2）由于奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，
所以，奇数项的二项式系数和为

C

0 10

+

C

2 10

+…+

C

10 10

=2⁹，
偶数项的二项式系数和为

C

1 10

+

C

3 10

+…

C

9 10

=2⁹．
（3）设（2x-3y）¹⁰=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10，
令x=y=1，得到a₀+a₁+a₂+…a₁₀=1①，
令x=1，y=-1（或x=-1，y=1）得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₁₀=5¹⁰②，
①+②得2（a₀+a₂+…a₁₀）=1+5¹⁰，∴奇数项的系数和为

1+510

2

，
①-②得2（a₁+a₃+a₉）=1-5¹⁰，
∴偶数项的系数和为

1-510

2

．

点评：本题考查二项式定理的应用，考查学生的运算求解能力，属中档题．