Question

在（2x-3y）¹⁰的展开式中，求：
（1）二项式系数的和；
（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
（3）奇数项系数和与偶数项系数和．

Answer 1

（1）（2x-3y）¹⁰的二项式系数和为

C 010 +C

110

+…+

C

1010

=（1+1）¹⁰=2¹⁰；
（2）由于奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，
所以，奇数项的二项式系数和为

C

010

+

C

210

+…+

C

1010

=2⁹，
偶数项的二项式系数和为

C

110

+

C

310

+…

C

910

=2⁹．
（3）设（2x-3y）¹⁰=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10，
令x=y=1，得到a₀+a₁+a₂+…a₁₀=1①，
令x=1，y=-1（或x=-1，y=1）得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₁₀=5¹⁰②，
①+②得2（a₀+a₂+…a₁₀）=1+5¹⁰，∴奇数项的系数和为

1+510

2

，
①-②得2（a₁+a₃+a₉）=1-5¹⁰，
∴偶数项的系数和为

1-510

2

．