Question

15．已知函数f（x）=sin²$\frac{π}{4}$x-$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{4}$xcos$\frac{π}{4}$x．
（1）求f（x）的最大值及此时x的值；
（2）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）的值．

Answer 1

分析 （1）首先，根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，然后确定其最大值即可；
（2）根据所求函数的周期性，得到其周期为4，然后，借助于三角函数的周期性确定其值即可．

解答 解：（1）f（x）=sin²$\frac{π}{4}$x-$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{4}$xcos$\frac{π}{4}$x．
=$\frac{1}{2}$（1-cos$\frac{π}{2}x$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{π}{2}x$
=-sin（$\frac{π}{2}x$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=-sin（$\frac{π}{2}x$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的最大值为1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，此时，$\frac{π}{2}x$+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴x=-$\frac{4}{3}$+4k，k∈Z，
（2）∵f（x）的周期为T=$\frac{2π}{\frac{π}{2}}$=4，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）
=2015×$\frac{1}{2}$+f（1）+f（2）+f（3）
=$\frac{2015}{2}$-sin（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$）-sin（π+$\frac{π}{6}$）-sin（$\frac{3π}{2}$+$\frac{π}{6}$）
=$\frac{1}{2}$×2015-cos$\frac{π}{6}$+sin$\frac{π}{6}$+cos$\frac{π}{6}$
=$\frac{1}{2}$×2016
=1008．
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）的值1008．

点评 本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键，属于中档题．