(08年新建二中六模) 如图,等腰直角△中,,平面,∥,.
(Ⅰ)求二面角的正弦值;
(Ⅱ)求点到平面的距离;
(Ⅲ)证明五点在同一个球面上,并求两点的球面距离.
解析:方法一
(Ⅰ)取的中点,连结,由知,又,故,所以即为二面角的平面角.
在△中,,,,
由余弦定理有
,
所以二面角的正弦值为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知道平面,故平面平面,故在平面上的射影一定在直线上,所以点到平面的距离即为△的边上的高.
故.
(Ⅲ)易证△为直角三角形,且,取的中点,则由四边形是矩形知,故五点在以为球心,为直径的球面上,故两点之间的球面距离就是半个大圆的弧长,是
方法二
以点为坐标原点,以过垂直于的直线为轴,以所在直线为轴,为轴建立空间直角坐标系,如图所示.
(Ⅰ)则,,
,,设
是平面的法向量,则有
,即,取,
得,易知平面的一个法向量为,,故所求角的正弦值为.
(Ⅱ),故点到平面的距离为.
(Ⅲ)易知的中点的坐标为,故,
而,故五点在以为球心,为直径的球面上,故两点之间的球面距离就是半个大圆的弧长,是
科目:高中数学 来源: 题型:
(08年新建二中六模) 已知双曲线,过上焦点F2的直线与上支交于A、B两点,且线段AF2、BF2的长度分别为m、n.
(1)证明mn≥1;
(2)若m>n,当直线AB的斜率时,求的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(08年新建二中六模理)有一种密码,明文是由三个字符组成,密码是由明文对应的五个数字组成,编码规则如下表:明文由表中每一排取一个字符组成,且第一排取的字符放在第一位,第二排取的字符放在第二位,第三排取的字符放在第三位,对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组成.
第一排 | 明文字符 | A | B | C | D |
密码字符 | 11 | 12 | 13 | 14 | |
第二排 | 明文字符 | E | F | G | H |
密码字符 | 21 | 22 | 23 | 24 | |
第三排 | 明文字符 | M | N | P | Q |
密码字符 | 1 | 2 | 3 | 4 |
设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数.
(Ⅰ)求P(ξ=2)
(Ⅱ)求随机变量ξ的分布列和它的数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(08年新建二中六模) 若函数的图像与直线相切,并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)若点是图像的对称中心,且[0,],求点A的坐标.
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