Question

已知等差数列{a_n}的公差为d，关于x的不等式dx²+2a₁x≥0的解集为[0，9]，则使数列{a_n}的前n项和S_n取最大值的正整数n的值是

5

．

Answer 1

分析：由题意易得d＜0，a_n=（n-

11

2

）d，令（n-

11

2

）d≤0，可得等差数列{a_n}的前5项为正，从第6项开始为负，从而可得答案．

解答：解：因为关于x的不等式dx²+2a₁x≥0的解集为[0，9]，
所以d＜0，且81d+18a₁=0，解得a₁=-

9

2

d，
故a_n=a₁+（n-1）d=（n-

11

2

）d，
令（n-

11

2

）d≤0，（注意d＜0），解得n≥

11

2

，
即等差数列{a_n}的前5项为正，从第6项开始为负，
故数列{a_n}的前5项和S₅取最大，
故答案为：5

点评：本题考查等差数列的前n项和的最值问题，涉及一元二次不等式的解集，属基础题．