Question

（2012•长春模拟）在△ABC中，∠BAC=120°，|

AB

|=2，|

AC

|=1，点P满足

BP

=λ

BC

（0≤λ≤1），则

BP

2-

AP

•

BC

的取值范围是（　　）

• A．[

  1

  4

  ，3]
• B．[

  1

  2

  ，5]
• C．[-2，

  15

  4

  ]
• D．[

  13

  4

  ，5]

Answer 1

分析：由余弦定理得，BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC可求BC，然后由正弦定理得，

AC

sinB

=

BC

sinA

可求sinB，然后可求cosB，而

BP

2-

AP

•

BC

利用向量的数量积可转化为关于λ的二次函数，结合二次函数在闭区间上的最值即可求解

解答：解：在△ABC中，∠BAC=120°中，
根据余弦定理得，BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC
=

4+1-2×2×1cos120°

=

7

根据正弦定理得，

AC

sinB

=

BC

sinA

∴

1

sinB

=

7

sin120°

∴sinB=

3

2 7

∴cosB=

5

2 7

从而有

BP

2-

AP

•

BC

=(λ

BC

)2+(

AB

+λ

BC

)•

BC

=7λ2-2×

7

×(-

5

2 7

)-7λ
=7(λ-

1

2

)2+

13

4

又0≤λ≤1，所以

BP

2-

AP

•

BC

的取值范围是[

13

4

，5]
故选D

点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的应用，向量的数量积的应用及二次函数的性质的灵活应用是求解的关键