Question

15．若数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{2}{3}$a_n+$\frac{1}{3}$，则数列{a_n}的通项公式是a_n=（-2）^n-1．若本题条件不变，则S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+{2}^{n}}{3}，}&{n为奇数}\\{\frac{1-{2}^{n}}{3}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 利用a_n=S_n-S_n-1化简、整理可知a_n=-2a_n-1（n≥2），进而可知数列{a_n}是首项为1、公比为-2的等比数列，分n为奇数、偶数两种情况讨论求和即得结论．

解答 解：∵S_n=$\frac{2}{3}$a_n+$\frac{1}{3}$，
∴a_n=S_n-S_n-1
=（$\frac{2}{3}$a_n+$\frac{1}{3}$）-（$\frac{2}{3}$a_n-1+$\frac{1}{3}$）
=$\frac{2}{3}$a_n-$\frac{2}{3}$a_n-1，
整理得：a_n=-2a_n-1（n≥2），
又∵S₁=$\frac{2}{3}$a₁+$\frac{1}{3}$，即a₁=1，
∴数列{a_n}是首项为1、公比为-2的等比数列，
∴a_n=（-2）^n-1，
∴数列{a_n}中奇数项是首项为1、公比为4的等比数列，数列{a_n}中偶数项是首项为-2、公比为4的等比数列，
当n为奇数时，S_n=$\frac{1-{4}^{\frac{n+1}{2}}}{1-4}$-$\frac{2（1-{4}^{\frac{n-1}{2}}）}{1-4}$=$\frac{1+{2}^{n}}{3}$；
当n为偶数时，S_n=$\frac{1-{4}^{\frac{n}{2}}}{1-4}$-$\frac{2（1-{4}^{\frac{n}{2}}）}{1-4}$=$\frac{1-{2}^{n}}{3}$；
综上所述，S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+{2}^{n}}{3}，}&{n为奇数}\\{\frac{1-{2}^{n}}{3}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$，
故答案为：（-2）^n-1，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+{2}^{n}}{3}，}&{n为奇数}\\{\frac{1-{2}^{n}}{3}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．