Question

若双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，过其左焦点F作x轴的垂线交双曲线于M，N两点，且

MA

•

NA

＞0，则该双曲线离心率的取值范围为（　　）

• A、（2，+∞）
• B、（1，2）
• C、（

  3

  2

  ，+∞）
• D、（1，

  3

  2

  ）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由已知条件，结合双曲线性质推导出|MF|=|NF|=

b2

a

，|AF|=a+c，∠MAF＜45°，所以a+c＞

b2

a

，由此能求出双曲线的离心率的取值范围．

解答： 解：如图，∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，
过其左焦点F作x轴的垂线交双曲线于M，N两点，
∴|MF|=|NF|=

b2

a

，|AF|=a+c，
∵

MA

•

NA

＞0，
∴∠MAF＜90°，
∵MN⊥AF，
∴∠MAF＜45°，
∴a+c＞

b2

a

，
∴a²+ac＞b²=c²-a²，
∴e²-e-2＜0，
解得-1＜e＜2，
∵e＞1，∴1＜e＜2，
∴离心率的取值范围是（1，2）．
故选：B．

点评：本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意数形结合思想的合理运用．