Question

6．已知函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+m}{{2}^{x+1}+n}$，（其中m、n为参数）．
（1）当m=n=1时，证明：f（x）不是奇函数；
（2）如果m=1，n=2，判断f（x）的单调性并给予证明．
（3）在（2）的条件下，求不等式f（f（x））+f（$\frac{1}{4}$）＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）当m=1，n=1时，函数f（x）=$\frac{1{-2}^{x}}{1{+2}^{x+1}}$，可得f（-x）≠-f（x），从而得出结论．
（2）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，根据f（x₁）-f（x₂）＞0，可得函数f（x）在R上单调递减．
（3）不等式即 f（f（x））＜-f（$\frac{1}{4}$）=f（-$\frac{1}{4}$），结合 函数f（x）在R上单调递减，可得f（x）＞-$\frac{1}{4}$，即得2^x＜3，由此求得x的范围．

解答 解：（1）证明：当m=1，n=1时，函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+m}{{2}^{x+1}+n}$=$\frac{1{-2}^{x}}{1{+2}^{x+1}}$，
f（-x）=$\frac{1{-2}^{-x}}{1{+2}^{1-x}}$=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+2}$，显然，f（-x）≠-f（x），
∵m=1，n=1时，函数f（x）不是奇函数．
（2）由m=1，n=2，得 函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+m}{{2}^{x+1}+n}$=$\frac{1{-2}^{x}}{2（1{+2}^{x}）}$=$\frac{1}{2}$（-1+$\frac{2}{{1+2}^{x}}$），
设x₁，x₂∈R，则f（x）在R上递减．
下面给予证明：
设任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，∵$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{1}{2}[\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}-\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}]$=$\frac{{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$＞0，
所以，函数f（x）在R上单调递减．
（3）由m=1，n=2时，f（x）=$\frac{1{-2}^{x}}{2（1{+2}^{x}）}$，满足f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数．
又∵f（f（x））+f（$\frac{1}{4}$）＜0，∴f（f（x））＜-f（$\frac{1}{4}$）=f（-$\frac{1}{4}$）．
∵函数f（x）在R上单调递减，∴f（x）＞-$\frac{1}{4}$，求得2^x＜3，x＜log₂3，
即f（x）＞0 的解集为（-∞，log₂3）．

点评 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．