Question

【题目】（Ⅰ）设x≥1，y≥1，证明x+yxy；

（Ⅱ）1≤a≤b≤c，证明logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）根据题意，首先对原不等式进行变形有x+yxyxy（x+y）+1≤x+y+（xy）2；再用做差法，让右式﹣左式，通过变形、整理化简可得右式﹣左式＝（xy﹣1）（x﹣1）（y﹣1），又由题意中x≥1，y≥1，判断可得右式﹣左式≥0，从而不等式得到证明．

（Ⅱ）首先换元，设logab＝x，logbc＝y，由换底公式可得：logba，logcb，logac，logac＝xy，将其代入要求证明的不等式可得：x+yxy；又有logab＝x≥1，logbc＝y≥1，借助（Ⅰ）的结论，可得证明．

证明：（Ⅰ）由于x≥1，y≥1；则x+yxyxy（x+y）+1≤x+y+（xy）2；

用作差法，右式﹣左式＝（x+y+（xy）2）﹣（xy（x+y）+1）

＝（（xy）2﹣1）﹣（xy（x+y）﹣（x+y））

＝（xy+1）（xy﹣1）﹣（x+y）（xy﹣1）

＝（xy﹣1）（xy﹣x﹣y+1）

＝（xy﹣1）（x﹣1）（y﹣1）；

又由x≥1，y≥1，则xy≥1；即右式﹣左式≥0，从而不等式得到证明．

（Ⅱ）设logab＝x，logbc＝y，

由换底公式可得：logba，logcb，logca，logac＝xy，

于是要证明的不等式可转化为x+yxy；

其中logab＝x≥1，logbc＝y≥1，

由（Ⅰ）的结论可得，要证明的不等式成立．