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    22.已知函数f(x)(x∈R)满足下列条件：对任意的实数x1、x2，都有

    λ(x1－x2)2≤(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］

    和

    |f(x1)－f(x2)|≤|x1－x2|,

    其中λ是大于0的常数.

    设实数a0、a、b满足f(a0)=0和b=a－λf(a).

    (Ⅰ)证明：λ≤1，并且不存在b0≠a0，使得f(b0)=0;

    (Ⅱ)证明：(b－a0)2≤(1－λ2)(a－a0)2;

    (Ⅲ)证明：［f(b)］2≤(1－λ2)［f(a)］2.

    22.本小题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力.

        证明: (Ⅰ)任取x1、x2∈R,x1≠x2,则由

    λ(x1－x2)2≤(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］                          ①

    和

    |f(x1)－f(x2)|≤|x1－x2|                                              ②

    可知

    λ(x1－x2)2≤(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］=|x1－x2|·|f(x1)－f(x2)|≤|x1－x2|2,从而　λ≤1.

    假设有b0≠a0,使得f(b0)=0成立,则由①知

    0＜λ(a0－b0)2≤(a0－b0)［f(a0)－f(b0)］=0，矛盾.

    ∴不存在b0≠a0,使得f(b0)=0.

    (Ⅱ)由            b=a－λf(a).                                            ③

    可知

    (b－a0)2=［a－a0－λf(a)］2

    =(a－a0)2－2λ(a－a0)f(a)+λ2［f(a)］2.                        ④

    由f(a0)=0和①式，得

    (a－a0)f(a)=(a－a0)［f(a)－f(a0)］≥λ(a－a0)2              ⑤

    由f(a0)=0和②式知，

    ［f(a)］2＝［f(a)－f(a0)］2≤(a－a0)2.                          ⑥

    则将⑤、⑥式代入④式，得

    (b－a0)2≤(a－a0)2－2λ2 (a－a0)2+λ2·(a－a0)2

    =(1－λ2)(a－a0)2.

    (Ⅲ)由③式，可知

    ［f(b)］2=［f(b)－f(a)+f(a)］2

    =［f(b)－f(a)］2+2f(a)［f(b)－f(a)］+［f(a)］2           

    ≤(b－a)2－2·［f(b)－f(a)］+［f(a)］2                        （用②式）

    =λ2［f(a)］2－ (b－a)［f(b)－f(a)］+［f(a)］2

    ≤λ2［f(a)］2－·λ·(b－a)2+［f(a)］2                            （用①式）

    =λ2［f(a)］2－2λ2［f(a)］2+［f(a)］2

    =(1－λ2)·［f(a)］2.


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    科目：高中数学 来源： 题型：

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    （1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
    （2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：浙江省东阳中学高三10月阶段性考试数学理科试题 题型：022

    已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．

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    科目：高中数学 来源：上海模拟 题型：解答题

    已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：2009-2010学年河南省许昌市长葛三高高三第七次考试数学试卷（理科）（解析版） 题型：选择题

    已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
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