Question

已知向量

m

=(sinx，1)，

n

=(

3

Acosx，

A

2

cos2x)（A＞0），函数f(x)=

m

•

n

的最大值为1．
（1）求A的值；
（2）设α，β∈[0，

π

2

]，f(

α

2

+

π

6

)=

3

5

，f(

β

2

+

5π

12

)=-

5

13

，求cos（α+β）的值；
（3）将函数y=f（x）的图象向左平移

π

12

个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[0，

5π

24

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）先对f（x）进行化简，变为一角一函数的形式，然后由其最大值可得A；
（2）由f(

α

2

+

π

6

)=

3

5

，可得cosα，由f(

β

2

+

5π

12

)=-

5

13

，可得sinβ，利用平方关系可得sinα，cosβ，再利用和角的余弦公式可得答案；
（3）先根据图象的平移变换规律求出g（x），然后由x的范围求出g（x）的值域；

解答：解：（1）f(x)=

m

•

n

=

3

Asinxcosx+

A

2

cos2x
=A(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)=Asin(2x+

π

6

)，
因为f（x）的最大值为1，所以A=1．
（2）由（1）得f(x)=sin(2x+

π

6

)，
f(

α

2

+

π

6

)=sin(α+

π

3

+

π

6

)=cosα=

3

5

，f(

β

2

+

5π

12

)=sin(β+

5π

6

+

π

6

)=-sinβ=-

5

13

，即sinβ=

5

13

，
因为α，β∈[0，

π

2

]，所以sinα=

4

5

，cosβ=

12

13

，
故cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=

3

5

×

12

13

-

4

5

×

5

13

=

16

65

．
（3）将函数y=f（x）的图象向左平移

π

12

个单位后得到y=sin[2(x+

π

12

)+

π

6

]=sin(2x+

π

3

)的图象；  
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到y=sin(4x+

π

3

)的图象．
因此g(x)=sin(4x+

π

3

)．
∵x∈[0，

5π

24

]，∴4x+

π

3

∈[

π

3

，

7π

6

]，
故g（x）在[0，

5π

24

]上的值域[-

1

2

，1]．

点评：本题考查三角函数的恒等变换、图象变换及向量数量积的运算，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力．