Question

11．已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，当a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0．
（1）判断函数f（x）在其定义域上是增函数还是减函数．并证明你的结论；
（2）若把定义域与值域相同的函数叫做“同域函数”，判断函数f（x）是否是“同域函数”．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）在[-1，1]上是增函数，用单调性的定义即可证明；
（2）根据（1）的结论，求出函数f（x）在[-1，1]上的值域，判断f（x）是否为“同域函数”即可．

解答 解：（1）函数f（x）在[-1，1]上是增函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
即x₂+（-x₁）＞0，其中-x₁，x₂∈[-1，1]，
∴$\frac{f{（x}_{2}）+f（{-x}_{1}）}{{x}_{2}+（{-x}_{1}）}$＞0，
∴f（x₂）+f（-x₁）＞0；
又f（x）是[-1，1]上的奇函数，
∴f（-x₁）=-f（x₁），
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴函数f（x）在[-1，1]上是增函数；
（2）由（1）知，函数f（x）在[-1，1]上是增函数，
且f（1）=1；
又f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，
∴f（-1）=-f（1）=-1，
∴f（x）的值域为[-1，1]，
∴函数f（x）的定义域与值域相同，是“同域函数”．

点评 本题考查了新定义的函数的奇偶性与单调性的判断与证明问题，是综合性题目．