Question

1．数列{a_n}，S_n为前n项和，S_n=2ⁿ-1．
（1）求a${\;}_{1}^{2}$+a${\;}_{2}^{2}$+a${\;}_{3}^{2}$+…+a${\;}_{n}^{2}$；
（2）求a₁+a₃+…+a_2n-1．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系可得a_n，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
（2）由（1）可得：a_2n-1=2^2n-2=4^n-1，利用（1）的结论即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=2ⁿ-1，∴当n=1时，a₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，当n=1时也成立，∴a_n=2^n-1．
∴${a}_{n}^{2}$=2^2n-2=4^n-1．
∴数列$\{{a}_{n}^{2}\}$是等比数列，首项为1，公比为4．
∴a${\;}_{1}^{2}$+a${\;}_{2}^{2}$+a${\;}_{3}^{2}$+…+a${\;}_{n}^{2}$=$\frac{{4}^{n}-1}{4-1}$=$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$．
（2）由（1）可得：a_2n-1=2^2n-2=4^n-1，
∴a₁+a₃+…+a_2n-1=$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．