Question

13．已知函数f（x）=1nx-ax²（a∈R）．
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最值；
（2）探究函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得单调区间，求得极小值也为最小值，再比较端点的函数值，即可得到最大值；
（2）求出导数并分解因式，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间，注意x＞0的限制．

解答 解：（1）函数f（x）=1nx-$\frac{1}{2}$x²的导数为
f′（x）=$\frac{1}{x}$-x=$\frac{（1-x）（1+x）}{x}$，
在[$\frac{1}{2}$，1）上f′（x）＞0，f（x）递增，在（1，2]上f′（x）＜0，f（x）递减，
则f（1）取得最小值，且为-$\frac{1}{2}$，
f（$\frac{1}{2}$）=ln$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{8}$，f（2）=ln2-2，f（$\frac{1}{2}$）＞f（2），
即有f（$\frac{1}{2}$）取得最大值，且为ln$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{8}$；
（2）函数f（x）=1nx-ax²（a∈R）的导数为
f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax=$\frac{1-2a{x}^{2}}{x}$，（x＞0），
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，即有f（x）在（0，+∞）递增；
当a＞0时，f′（x）=$\frac{（1-\sqrt{2a}x）（1+\sqrt{2a}x）}{x}$，
由f′（x）＞0，可得0＜x＜$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，由f′（x）＜0，可得x＞$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，
即有f（x）在（0，$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）递增，在（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，+∞）递减．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查分类讨论的思想方法和运算能力，属于中档题．