Question

18．已知值域为[-1，+∞）的二次函数f（x）满足f（-1+x）=f（-1-x），且方程f（x）=0两个实数根x₁，x₂满足|x₁-x₂|=2
（1）求f（x）的表达式．
（2）记max{a，b}表示a和b中的较大者，min{a，b}表示a和b中的较小者，g（x）=f（x）-kx在区间x∈[-1，2]内的最大值为max{f（2），f（-1）}，min{f（2），f（-1）}，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知二次函数f（x）满足f（-1+x）=f（-1-x），可得函数f（x）的图象的对称轴方程，根据函数f（x）的值域为[-1，+∞），可得函数的顶点坐标，根据方程f（x）=0两个实数根x₁，x₂满足|x₁-x₂|=2，可得函数图象与x轴交点的坐标，进而可得f（x）的表达式．
（2）若g（x）=f（x）-kx在区间x∈[-1，2]内的最大值为max{f（2），f（-1）}，min{f（2），f（-1）}，则函数g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x在区间x∈[-1，2]上单调，进而可得实数k的取值范围．

解答 解：（1）∵二次函数f（x）满足f（-1+x）=f（-1-x），
∴函数f（x）的图象关于直线x=-1对称，
又由函数f（x）的值域为[-1，+∞），
故函数f（x）图象的顶点坐标为（-1，-1），
又由方程f（x）=0两个实数根x₁，x₂满足|x₁-x₂|=2，
故二次函数f（x）与x轴的两个交点坐标为（-2，0）和（0，0），
设f（x）=a（x+1）²-1，将（0，0）代入得：a=1，
故f（x）=（x+1）²-1=x²+2x
（2）若g（x）=f（x）-kx在区间x∈[-1，2]内的最大值为max{f（2），f（-1）}，min{f（2），f（-1）}，
则函数g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x在区间x∈[-1，2]上单调，
则$\frac{k-2}{2}$≤-1，或$\frac{k-2}{2}$≥2，
解得：k∈（-∞，0]∪[6，+∞）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．