Question

8．已知$\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}$=3，求下列各式的值：
（1）a+a^-1；
（2）a²+a^-2；
（3）$\frac{{a}^{\frac{3}{2}}-{a}^{-\frac{3}{2}}}{{a}^{\frac{1}{2}}-{a}^{-\frac{1}{2}}}$；
（4）a-a^-1．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用完全平方公式求解．
（2）由已知条件利用完全平方公式求解．
（3）由已知条件利用立方差公式求解．
（4）由已知条件利用完全平方差（和）公式求解．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}$=3，
∴$（\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}）^{2}$=$a+\frac{1}{a}+2$=9，
∴a+a^-1=7．
（2）∵a+a^-1=7，
∴（a+a^-1）²=a²+a^-2+2=49，
∴a²+a^-2=47．
（3）$\frac{{a}^{\frac{3}{2}}-{a}^{-\frac{3}{2}}}{{a}^{\frac{1}{2}}-{a}^{-\frac{1}{2}}}$=$\frac{（{a}^{\frac{1}{2}}-{a}^{\frac{1}{2}}）（a+1+{a}^{-1}）}{{a}^{\frac{1}{2}}-{a}^{-\frac{1}{2}}}$=a+a^-1+1=7+1=8．
（4）∵（a-a^-1）²=（a+a^-1）²-4=49-7=42，
∴a-a^-1=$±\sqrt{42}$．

点评 本题考查有理数指数幂的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意完全平方差（和）、立方差公式的合理运用．