Question

5．已知函数f（x）=x²+ax+3，x∈[-2，2]．
（1）若a=2时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）当a为实数时，求函数f（x）的最小值g（a）
（3）若g（a）≥a时，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）将a的值代入函数的解析式，得到函数的单调性，从而求出函数的最大值和最小值；
（2）根据所给的二次函数的性质，写出对于对称轴所在的区间不同时，对应的函数的最小值，是一个分段函数形式；
（3）由（2）得到各个范围的g（a），解不等式求出a的范围，从而求出a的最小值．

解答 解：（1）f（x）=（x+1）²+2，对称轴x=-1，
f（x）在[-2，-1）递减，在（-1，2]递增，
所以f（x）_{min（x=-1）}=2，f（x）_max（x=2）=11；
（2）函数f（x）的对称轴为直线x=-$\frac{a}{2}$，
①当-4≤a≤4时，-2≤-$\frac{a}{2}$≤2，g（a）=f（-$\frac{a}{2}$）=$\frac{12{-a}^{2}}{4}$；
②当a＜-4时，-$\frac{a}{2}$＞2，g（a）=f（2）=7+2a；
③当a＞4时，-$\frac{a}{2}$＜-2，g（a）=f（-2）=7-2a．
综上所述，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{7+2a，（a＜-4）}\\{\frac{12{-a}^{2}}{4}，（-4≤a≤4）}\\{7-2a，（a＞4）}\end{array}\right.$；
（3）a＜-4时：7+2a≥a，解得：a≥-7，
∴-7≤a＜-4，
-4≤a≤4时：$\frac{12{-a}^{2}}{4}$≥a，解得：-6≤a≤2，
∴-4≤a≤2，
a＞4时：7-2a＞a，解得：a＜$\frac{7}{3}$无解，
综上：-7≤a≤2，
∴a的最小值是-7．

点评 本题看出二次函数的性质，针对于函数的对称轴是一个变化的值，需要对对称轴所在的区间进行讨论，是一个易错题．