Question

1．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx．
（1）求f（x）的最大值；
（2）设g（x）=f（x）cosx，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换，化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的值域求得它的最大值．
（2）利用三角恒等变换，化简函数g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得它的值域．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx=2sin（x+$\frac{π}{6}$），故函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx的最大值为2．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，∴g（x）=f（x）cosx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$∈[1，$\frac{3}{2}$]，
即函数g（x）的值域为[1，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．