Question

用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3•5•…•（2n-1）时，当n=k+1时，其形式是

（k+2）（k+3）…（2k+2）=2^k+1•1•3•5•…•（2k+1）

．

Answer 1

分析：题目是求解利用数学归纳法证题时当n=k+1时的步骤，当n=k时的步骤给出了，那么当n=k+1时应把要证的等式左边减n就换k+1，让其出现归纳假设左边的形式，然后代入归纳假设，整理后右边也要出现和n=k时一样的形式，不同的是k换成了k+1．

解答：解：用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3•5•…•（2n-1）时，
第一步是验证当n=1时结论成立，
第二步是归纳假设，假设当n=k时结论成立，即（k+1）（k+2）…（k+k）=2^k•1•3•5•…•（2k-1），
那么当n=k+1时（k+1+1）（k+1+2）…（k+1+k+1）=（k+2）（k+3）…（2k+2）
=

k+1

k+1

（k+2）（k+3）…（k+k）（k+1+k）（2k+2）=

1

k+1

2^k•1•3•5•…•（2k-1）（2k+1）（2k+2），
=2^k+1•1•3•5•…•（2k-1）（2k+1），
故答案为（k+2）（k+3）…（2k+2）=2^k+1•1•3•5•…•（2k-1）（2k+1）．

点评：本题考查了数学归纳法，运用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，一定要用上归纳假设，并且当n=k+1时要与n=k时保持形式上一致．