Question

16．（1）已知log_0.7（2x）＜log_0.7（x-1），求x的取值范围；
（2）求函数$y={log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}+4）$的定义域、值域和单调区间．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的单调性以及对数函数的定义得到关于x的不等式组，解出即可；
（2）根据对数函数的定义求出函数的定义域，值域即可，根据复合函数的单调性求出函数的单调性即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log_0.7x是减函数，
由log_0.7（2x）＜log_0.7（x-1），
得：$\left\{\begin{array}{l}{2x＞0}\\{x-1＞0}\\{2x＞x-1}\end{array}\right.$，解得：x＞1；
（2）∵函数$y={log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}+4）$，
∴函数的定义域是R、
由y=${log}_{\frac{1}{2}}^{4}$=-2，得函数的值域是（-∞，-2]，
根据y=x²+4在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
结合复合函数同增异减的原则，得函数$y={log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}+4）$在（-∞，0）递增，在（0，+∞）递减．

点评 本题考察了对数函数的性质，考察复合函数的单调性问题，是一道基础题．