Question

已知双曲线C：-y²=1，若直线y=kx+m（k，m≠0）与双曲线C交于不同的两点M，N，且M，N在以点A（0，-1）为圆心的圆上，则实数m的取值范围是________．

Answer 1

（-，0）∪（4，+∞）
分析：将直线方程与双曲线方程联立，消去y得（3k²-1）x²+6kmx+3m²+3=0，根据直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点，可得从而有，再利用M、N两点都在以A（0，-1）为圆心的同一圆上，所以AB⊥MN，建立关于m的不等关系，从而求出实数m的取值范围．
解答：解：如图所示，由?（3k²-1）x²+6kmx+3m²+3=0
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），线段MN的中点为B（x₀，y₀），则有
? ①
由中点坐标公式及韦达定理得
因为M、N两点都在以A（0，-1）为圆心的同一圆上，所以AB⊥MN，
即，
∴3k²=4m+1 ②
由①②得
∴m＞4或．
故答案为：（-，0）∪（4，+∞）．
点评：本题以双曲线的几何性质为载体，考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，有难度．