Question

已知函数f（x）定义域为R且同时满足：①f（x）图象左移1个单位后所得函数为偶函数；②对于任意大于1的不等实数a，b，总有

f(a)-f(b)

a-b

＞0成立．
（1）f（x）的图象是否有对称轴？如果有，写出对称轴方程．并说明在区间（-∞，1）上f（x）的单调性；
（2）设g(x)=

1

f(x)

+

1

2-x

，如果f（0）=1，判断g（x）=0是否有负实根并说明理由；
（3）如果x₁＞0，x₂＜0且x₁+x₂+2＜0，比较f（-x₁）与f（-x₂）的大小并简述理由．

Answer 1

分析：（1）由条件（1）得f（x）的图象关于直线x=1对称，有条件（2）可得f（x）在（1，+∞）上单调递增，从而可判断f（x）在（-∞，1）上单调性；
（2）若g（x）=0有负根x₀，由 g（x₀）=

1

f(x0)

+

1

2-x0

=0可求得f（x₀）=x₀-2，再借助f（x）在（-∞，1）上单调递减，可得出矛盾；
（3）点（-x₁，f（-x₁））与点（2+x₁，f（2+x₁））为f（x）上关于直线x=1对称的两点，结合x₁+x₂+2＜0，f（x）在（1，+∞）上单调递增，即可比较f（-x₁）与f（-x₂）的大小．

解答：（1）解：由条件（1）得f（x）的图象关于直线x=1对称…（2分）
有条件（2）得a＞b＞1时，f（a）＞f（b）恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增…（4分）
又∵f（x）的图象关于直线 x=1对称，
∴f（x）在（-∞，1）上单调递减…（5分）
（2）若g（x）=0有负根x₀，则  g（x₀）=

1

f(x0)

+

1

2-x0

=0，
∴f（x₀）=x₀-2．
∵f（0）=1，f（x）在（-∞，1）上单调递减，
∴f（x₀）＞1，
∴x₀-2＞1，即x₀＞3与x₀＜0矛盾，故g（x）=0无负实根…（10分）
（3）解：点（-x₁，f（-x₁））与点（2+x₁，f（2+x₁））为f（x）上关于直线x=1对称的两点，
∵x₁+x₂+2＜0，
∴2＜x₁+2＜-x₂，又f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f（-x₂）＞f（2+x₁）=f（-x₁）…（16分）

点评：本题考查函数的图象，着重考查函数的单调性与对称性，难点在于（3）的分析与转化，比较抽象，属于难题．