Question

已知数列{a_n}的通项a_n=

1

3

[2ⁿ-（-1）ⁿ]，b_n=a_na_n+1，设S_n是数列{a_n}的前n项和．若b_n-λS_n＞0对任意n∈N^*都成立，则λ的取值范围是

（-∞，1）

．

Answer 1

分析：先表示出b_n，S_n，分n为正奇数，正偶数两种情况进行讨论，从b_n-λS_n＞0中分离出参数λ后转化为求数列的最小值即可，借助数列的单调性可求最值．

解答：解：由a_n=

1

3

[2ⁿ-（-1）ⁿ]，得b_n=a_na_n+1=

1

9

[2n-(-1)n][2n+1-(-1)n+1]，
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=

1

3

{（2+2²+2³+…+2ⁿ）-[（-1）+（-1）²+…+（-1）ⁿ]}
=

1

3

[2n+1-2-

(-1)n-1

2

]，
①当n为正奇数时，b_n-λS_n=

1

9

(2n+1)(2n+1-1)-

1

3

λ（2ⁿ⁺¹-1）＞0对任意n∈N^*都成立，
因为2ⁿ⁺¹-1＞0，所以

1

9

(2n+1)-

λ

3

＞0，即λ＜

1

3

(2n+1)对任意正奇数n都成立，
又因为数列{

1

3

(2n+1)}递增，
所以当n=1时，

1

3

(2n+1)有最小值1，所以λ＜1；
②当n为正偶数时，b_n-λS_n=

1

9

(2n-1)(2n+1+1)-

1

3

λ(2n+1-2)＞0，即

1

9

(2n-1)(2n+1+1)-

2

3

λ(2n-1)＞0对任意n∈N*都成立，
又因为2ⁿ-1＞0，所以

1

9

(2n+1+1)-

2

3

λ＞0，即λ＜

1

6

（2ⁿ⁺¹+1）对任意正偶数n都成立，
又因为数列{

1

6

(2n+1+1)}递增，
所以当n=2时，

1

6

(2n+1+1)有最小值

3

2

，所以λ＜

3

2

；
综上所述，λ的取值范围是（-∞，1）．
故答案为：（-∞，1）．

点评：本题考查数列求和、数列与不等式的综合，考查转化思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，本题运算量较大．