Question

16．已知直线y=k（x+a）（a＞0）与x轴交于点A，与直线x=c（c＞0，c＜a）交于点M，椭圆C以A为左顶点，以F（c，0）为右焦点，且过点M，当$\frac{1}{3}$＜k＜$\frac{1}{2}$时，椭圆C的离心率的范围是（　　）

• A． $（0，\frac{2}{3}）$
• B． $（\frac{2}{3}，1）$
• C． $（\frac{1}{2}，1）$
• D． $（\frac{1}{2}，\frac{2}{3}）$

Answer 1

分析 由题意，|AF₂|=a+c，|MF₂|=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a}$，再由∠MAF₂是直线的倾斜角，易得k=tan∠MAF₂=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a（a+c）}$，然后通过$\frac{1}{3}$＜k＜$\frac{1}{2}$可得$\frac{1}{3}$＜$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a（a+c）}$＜$\frac{1}{2}$，再分子分母同除a²得$\frac{1}{3}$＜$\frac{1-{e}^{2}}{1+e}$＜$\frac{1}{2}$求解．

解答 解：由题意，|AF₂|=a+c，|MF₂|=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a}$，
∴k=tan∠MAF₂=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a（a+c）}$，
又∵$\frac{1}{3}$＜k＜$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{3}$＜$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a（a+c）}$＜$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{3}$＜$\frac{1-{e}^{2}}{1+e}$＜$\frac{1}{2}$
∴$\frac{1}{2}$＜e＜$\frac{2}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查了椭圆与直线的位置关系及椭圆的几何性质和直线的斜率与倾斜角，难度不大，但需要灵活运用和转化知识．