Question

4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线x²=4$\sqrt{2}$y的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．当点A，B运动时，满足PA与PB的斜率之和为0，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）抛物线x²=4$\sqrt{2}$y的焦点是（0，$\sqrt{2}$），可得b=$\sqrt{2}$，由$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得a=2$\sqrt{2}$，即可求椭圆C的方程；
（2）设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，分别联立直线PA、PB与椭圆方程，结合韦达定理，直接计算k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$即可．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）
又抛物线x²=4$\sqrt{2}$y的焦点是（0，$\sqrt{2}$），∴b=$\sqrt{2}$-----------------------------------（2分）
由$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴a=2$\sqrt{2}$----------------------------------------------------（4分）
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$----------------------------------------（5分）
（2）设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k
∴PA的直线方程为：y-1=k（x-2）------------------------------------（6分）
代入椭圆方程，消去整理得：（1+4k²）x²+8k（1-2k）x+16k²-16k-4=0，
∵2、x₁是该方程的两个实根，
∴2x₁=$\frac{16{k}^{2}-16k-4}{1+4{k}^{2}}$，∴x₁=$\frac{8{k}^{2}-8k-2}{1+4{k}^{2}}$，
同理，直线PB的方程为：y=-kx+2k+1，且x₂=$\frac{8{k}^{2}+8k-2}{1+4{k}^{2}}$，
∴x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，x₁-x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，（11分）
∴k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4k}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$---------------------------------------------------（13分）

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆的方程，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．