Question

已知函数f（x）=2^x+1定义在R上．且f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和．
（1）求g（x）与h（x）与的解析式；
（2）设h（x）=t，p（t）=g（2x）+2mh（x）+m²-m-1（m∈R），求出p（t）的解析式；
（3）若p（t）≥m²-m-1对于t∈R恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）若f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为偶函数，h（x）为奇函数，利用函数奇偶性的定义，则有f（-x）=g（-x）+h（-x）=g（x）-h（x），解上述关于g（x），h（x）的方程组得出g（x）与h（x）的解析式．
（2）由于p（t）=g（2x）+2mh（x）+m²-m-1（m∈R），将g（2x）化为t的表达式后，则p（t）的解析式可求出．
（3）p（t）=t²+2mt+m²-m+1≥m²-m-1对于t∈R恒成立，即t²+2mt+2≥0对于t∈R恒成立，则△=（2m）²-4×2≤0即可．

解答：解：（1）若f（x）=g（x）+h（x）①，其中g（x）为偶函数，h（x）为奇函数，
则有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=g（x）-h（x）②，
由①②解得g(x)=

f(x)+f(-x)

2

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2

．
∵f（x）=2^x+1，
∴g(x)=

f(x)+f(-x)

2

=

2x+1+2-x+1

2

=2x+

1

2x

，
h(x)=

f(x)-f(-x)

2

=

2x+1-2-x+1

2

=2x-

1

2x

．
（2）由2x-

1

2x

=t，则t∈R，平方得t2=(2x-

1

2x

)2=22x+

1

22x

-2，
∴g(2x)=22x+

1

22x

=t2+2，
∴p（t）=t²+2mt+m²-m+1．
（3）p（t）=t²+2mt+m²-m+1≥m²-m-1对于t∈R恒成立，
即t²+2mt+2≥0对于t∈R恒成立，则△=（2m）²-4×2≤0，解得-

2

≤m≤

2

．

点评：本题考查函数奇偶性的应用，方程组法、换元法求函数解析式，不等式恒成立．具有一定的综合性．