Question

10．设函数f（x）=x²+bx-3，对于给定的实数b，f（x）在[b²，b]上有最大值M（b）和最小值m（b），记g（b）=M（b）-m（b）．
（1）求g（b）；
（2）如果对任意的x∈[b²，b]，都存在符合题意b，使得-b²f（x）=|g（b）|成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据所给的二次函数的性质，求出对称轴，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性即可求得最值，进而得到函数g（b）的解析式；
（2）根据（1）求得的结果，-x²-bx+3=|b²+b-2|，0＜b＜1，利用二次函数在定区间上的最值的求法，以及绝对值函数的单调性求得值域，再由任意和存在性问题的解法，即可求出b的范围..

解答 解：（1）f（x）=（x+$\frac{b}{2}$）²-3-$\frac{{b}^{2}}{4}$，
抛物线开口向上，其对称轴方程为x=-$\frac{b}{2}$，
由b²＜b，可得0＜b＜1，-$\frac{b}{2}$＜0，
即有f（x）在[b²，b]上递增，可得
m（b）=b⁴+b³-3，M（b）=2b²-3，
即有g（b）=M（b）-m（b）=2b²-b⁴-b³，（0＜b＜1）；
（2）对任意的x∈[b²，b]，
都存在符合题意b，使得-b²f（x）=|g（b）|成立，
可得-x²-bx+3=|b²+b-2|，0＜b＜1，
由0＜b＜1可得-x²-bx+3在[b²，b]递减，
即有值域为[3-2b²，3-b⁴-b³]，
又|b²+b-2|在0＜b＜1的值域为（0，2），
由题意可得0＜3-2b²＜3-b⁴-b³＜2，
由b⁴+b³＞1，令h（b）=b⁴-b³，由h（0.8）＜1，h（0.9）＞1，
可得h（b）=1的根为t（0.8＜t＜0.9），
综上可得b的范围是（t，1），（0.8＜t＜0.9）．

点评 本题考查二次函数的性质，注意讨论对称轴与区间的关系，同时考查函数的单调性的运用，以及任意和存在性问题的解法，注意转化为求函数的值域问题，是一个易错题，属中档题．